怎麼避免上廁所沒有紙?

怎麼避免上廁所沒有紙?

本文來自微信公眾號:中科院物理所(ID:cas-iop),作者:Cloudiiink,編輯:Cloudiiink,頭圖來自:視覺中國


人的一生難免會遇到很多尷尬的時候……


比如,上廁所沒有紙了



其實這種欲哭無淚的情況還有很多,什麼排隊的時候我在哪條隊伍哪條隊伍就更慢,在電梯里突然肚子告急想要來一個忍無可忍的屁……今天我們就來聊一聊廁所里這件避無可避的尷尬的事情……



廁紙Toilet Paper


提起廁所,我們離不開廁紙。廁紙的製造過程其實很普通的紙張並沒有太大的區別,但是因為用途不同,廁紙以及其他紙巾被設計地極其薄而且極其地脆弱,從而提供人們日常擦拭皮膚(擦屁股)以及清潔物品表面等用途。


日本奈良時代的廁籌,旁邊是用來對比大小的現代廁紙


在古代,紙還不那麼地普及,只能用來書寫的時候,人們普遍用可以重複使用的東西來清理自己的屁屁,比如我們熟悉的廁籌,還有動物毛皮、布、手等東西。但是隨着時代變遷,紙越來越普及。我們熟悉的劉姥姥在大觀園突然覺得要拉肚子,都是「忙地拉着一個小丫頭,要了兩張紙」。


捲紙的製造過程其一


現在,人們一般認為是蓋耶提(Joseph C. Gayetty)發明了現代意義上的商品化的衛生紙。1850 年代是家庭清潔的黃金十年,洗碗機和洗衣機都在這段時期問世,但這兩項發明都不如商品化的衛生紙那麼具革命性。在此之前的美國人一般都用玉米殼以及從報紙、雜誌和型錄(彙集了商品信息的冊子)上撕下來的紙,既好用又沒花多少錢。美國一些型錄出版商甚至開始在角落打個洞,像是默認他們的產品註定會掛在茅坑,當衛生紙用。


捲紙的製造過程其二


一般我們用濕韌強度代表紙張在完全潤濕狀態下的韌性指標。面巾紙一般要求具有濕韌性,畢竟不能一擦臉上的水,紙全變成渣渣糊在臉上了。而廁用衛生紙一般不允許具有濕韌性,就是為了防止在使用后紙張不易分解而堵塞衛生化糞池。丟入馬桶很快就能分解掉。如果你家廁所因為你扔進去紙(而不是拉得太多)而堵了,那說明:你用錯紙了。


兩種不同的紙巾,在被水浸泡后表現地不盡相同


紙巾紙的國家標準是 GB/T20808-2011,其中衛生標準是 GB15979,而衛生紙的標準是 GB/T20810-2006。一般包裝反面會有標準號,可以通過這個辨別。你也可以自己做實驗,把紙巾丟到清水中,看是否會變成渣渣來辨認。


包租婆,廁所又沒紙啦!Warning! No Toilet Paper!!!


為了避免廁所沒紙的尷尬,在裝修家裡的衛生間時,我們可以安裝一個廁所雙紙巾架。大多數家庭廁所只有一個獨立的紙巾架。不管怎麼說,只有一捲紙巾實在是沒啥安全感,萬一前面一個人用的紙巾多了一點,而又來不及換下一捲紙巾的時候,就只能面對無紙可用的窘境。很多人有一個好習慣,在看到紙巾快要用完的時候,會在馬桶水箱上放一個新的。但是既然如此,我們為啥不做一個可以放兩捲紙的支架呢?


一個紙巾架真的毫無安全感,因為你根本想不到會因為什麼原因上廁所沒紙……


不過目前多了一捲紙並沒有徹底解決無紙可用的問題。萬一兩捲紙都在同一時間用完了,怎麼辦?雖然紙巾清空比起之前多了一倍的時間,但是我們還是遇到同樣的問題:包租婆,廁所又沒紙啦!在廁所擁有兩捲紙巾以後,我們的問題其實變得複雜了一些,選擇哪卷衛生紙作為我們的「擦屁屁紙」,成為了整個問題的關鍵。


經過一段不長的思考和實踐以後,我們可以使用三種不同的「擦屁屁紙選擇算法」:大策略,小策略以及隨機策略。


大策略:始終從最大的卷中取紙(如果一樣大,就選近的那個)


小策略:始終從最小的卷中取紙(如果一樣大,就選近的那個)


隨機策略:放棄思考,隨機選擇、


不知道你平時是哪一種策略呢?


隨機策略是最自然的,但是如果我們的選擇真的是隨機的話,我們會平等地選擇兩個卷,所以它們會被幾乎同時地清空……所以為了後來進入廁所的人,也為了我們自己,我們不能草率地做出用哪一捲紙的決定。


如果我們使用大策略,假設我們有 A 和 B 兩個卷,但是 A 更大一點,那麼這種情況下,我們會先用大的那一卷 A,直到 A 和 B 兩個卷一樣大。所以 A 和 B 兩個卷幾乎是勻速地減少,也就是……我們依舊沒有辦法擺脫兩捲紙同時被用完的宿命……


小策略實際上才是最為正確的選擇。因為我們始終使用較小的那個卷,因為它會越來越小,直到耗盡,然後我們再切換到另外一個全新的捲紙。這樣的好處不言而喻,在一捲紙用完以後,另一捲紙還剩足夠長,給人們留下了充足的更換另一捲紙的時間。


建個模型吧 Modeling


雖然經過我們的證明,小策略是一個很完美的避免大家進入廁所以後無紙可用的尷尬策略,但是現實往往很殘酷,並不是所有人都意識到了這一點。有的人依舊會選擇大的那個,有的人依舊會隨機地選擇自己用哪捲紙。


為了一般化上面的情況,我們可以定義在所有進入廁所中的人中會有 q 的概率選擇小策略,而會有 p 概率的人選擇大策略。當然,p + q = 1。對於隨機選擇的人,其實就對應上面模型中的 q = 1 / 2。


怎麼來衡量用紙尷尬情況發生的可能性呢?令 Mn(p) 為兩個長度均為 n 的捲紙在一個捲紙用完以後,另一個捲紙的長度的數學期望。如果這個 M 越大,就意味着越安全,留給我們換一卷新的紙的時間也就越多。如果這個 M 越小……我們就只能自求多福不要遇到這種尷尬的情況了……


高德納(Donald Ervin Knuth)教授為現代計算機科學的先驅人物,創造了算法分析的領域,在數個理論計算機科學的分支做出基石一般的貢獻。在計算機科學及數學領域發表了多部具廣泛影響的論文和著作。1974年圖靈獎得主。


這個這麼關係到大家生活幸福程度的事情,怎麼可能沒有科學家關注過呢?在 1984 年,高德納(Donald Ervin Knuth)教授就研究過 Mn(p) 的具體表達式,以及其一些性質。我們可以通過一些簡單的情況來熟悉分析的方法。


假設捲紙只有 1 格。那麼不管用什麼策略,我們都會用掉一格紙,所以 M1(p) = 1。


假設捲紙只有 2 格。我們用 (2, 2) 表示目前捲紙的狀態,那麼和前面類似,不管用什麼策略,我們都會用掉一格紙,所以這時變成了 (2, 1)。接下來我們有 q 的概率變成 (2, 0),然後 p 的概率變成 (1, 1)。所以最終剩餘長度的數學期望為 M2(p) = 2 * q + p = 2 - p。


當 n = 10 時候的表達式,雖然看上去很複雜,但是分析方法和上面其實是一致的


一般的情況我們可以用下面的公式表示這種捲紙狀態(也就是前面的長度對)的變化情況。當然,捲紙狀態和 M 的值是一一對應的。


如果兩個長度不同,用不同的概率變成兩種不同的狀態。如果兩個長度相同,那麼就選一個長度減 1。如果一個已經變成了 0,那麼剩餘長度就是我們數對中另一個數。


在 Knuth 的論文中,他討論了在一般的情形下,一個捲紙空了以後另一個捲紙最後剩餘長度的數學期望是多少。在一個並沒有什麼約定的社會中,大家如果隨便選用一個捲紙,假設捲紙總長度為 n,那麼最後一卷的剩餘長度會在 n 的平方根量級上。更為具體的表達式為


以常見的某國產品牌捲紙為例,一卷全新的捲紙長度為 240 格。在隨機策略之下,在一捲紙用完以後,另一捲紙將會平均只剩下 17.5 格。這實在是一個很不妙的信號……


某國產著名紙巾品牌的天貓頁面


如果我們模擬一下 100 格的衛生紙在不同的大策略使用者概率情況下的剩餘長度,我們會發現,隨着小策略的人數比重的增加,一捲紙用完以後,另一捲紙的長度會快速地增加。


橫軸為選擇大策略的概率,縱軸為剩餘長度


需要注意的是,在上面模型的討論中我們實際上是假定了每個人一次用一格紙。


結 論  Conclusion


說了這麼多,其實如何避免廁所無紙可用是一個需要大家共同努力的事情,總結起來其實就是……


捲紙千萬條,策略第一條,


選大不選小,別人兩行淚。


參考文獻: 

[1] Donald E. Knuth. The American Mathematical Monthly. Vol. 91, No. 8 (Oct., 1984), pp. 465-470

[2] Toilet Paper - Wikipedia 

[3] 關於廁紙你不可不知的 36 件事 

[4] How does the author find Mn(p) in the Toilet Paper Problem

[5] 發明廁紙前,古人用什麼擦屁股?

[6] 為什麼國外人大多將廁紙丟進馬桶,而中國人不習慣這樣?

[7] Toilet Paper Algorithms: I didn't know you had to be a computer scientist to use toilet paper. 

[8] RV Toilet Paper Test 


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